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壹
与函数不等式证明相关的导数知识点
一、函数单调性的判定
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则
(1)在(a,b)内f’(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上严格单调增加．
(2)在(a,b)内f’(x)，则函数f(x)在[a,b]上严格单调减少．
二、函数极值第一充分条件
设f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域内可导，则
(1)如果f’(x)左正右负，那么f(x)在x0处取极大值．
(2)如果f’(x)左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
(3)如果f’(x)不变号，那么f(x)在x0处不取极值．
三、极值的第二充分条件
设函数f(x)在x0处具有n阶导数，且
那么
(1) n为偶数时，x0为极值点，且n阶导数大于0，取极小值；n阶导数小于0，取极大值.
(2) n为奇数时，x0不是极值点.
四、凹凸性相关的不等式结论
(1)设函数f(x)在区间I上连续，若f(x)的图形是凹的，则有
若f(x)的图形是凸的，则有
(2)如果在曲线y=f(x)上任意一点(x0, f(x0))作切线，那么，凹曲线位于切线上方，凸曲线位于切线下方，即有
五、函数图形凹凸性的判定
设f(x)在(a,b)内存在二阶导数，
(1)如果在(a,b)内f’’(x)>0，则f(x)描述的曲线为凹弧；
(2)如果在(a,b)内f’’(x)，则f(x)描述的曲线为凸弧．
六、最值定理
如果f(x)在[a,b]内连续，则必在该区间上取到最大值和最小值，即存在c,d∈[a,b]，有
七、闭区间上的连续函数最值求解步骤
(1)求出函数在闭区间上的所有导数等于零的点(驻点)和导数不存在的点；
(2)求出函数在以上各点的函数值与端点的取值.
(3)比较以上各值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.
贰
典型题解析
例：证明：当0时，有
证明1：(利用函数图形的凹凸性证明)令
当0时，F’’(x)，所以函数F(x)的图形为严格的凸曲线，从而有
所以结论成立.
证明2：(利用函数的单调性证明)由于0，所以
于是令
由于0时，0，所以可得F’(x)，由此可知函数F(x)在区间0上严格单调递减.由于右端点等于零，所以函数F(x)>0，从而可知结论成立.
证明3：(利用最值不等式)令
由此可知函数F(x)在闭区间[0,π/2]上为连续函数，因此有最大值M和最小值m.令
在(0,π/2)只有唯一的极值点，且F(0)=F(π/2)=0，结合当0时，F’’(x)，函数F(x)的图形为严格的凸曲线，所以x=x0取到极大值，也即函数的最大值，并且最大值是一个大于0的数，所以函数F(x)的最大值为F(x0)，最小值为0，从而当0时，有
所以结论成立.
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